Trong hình học không gian, viết phương trình mặt phẳng \( \alpha \) đi qua một điểm \( M \) và vuông góc với hai mặt phẳng \( (P) \), \( (Q) \) cho trước là một dạng bài tập quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi và quá trình học tập. Bài toán này giúp rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng xác định vectơ pháp tuyến và áp dụng tích có hướng để tìm phương trình mặt phẳng.
Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc viết phương trình mặt phẳng, xác định hướng giải hoặc muốn nắm vững phương pháp nhanh chóng, bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết và các bài tập vận dụng từ dễ đến khó. Không chỉ giúp bạn hiểu bản chất, bài viết còn cung cấp các bước giải chi tiết, giúp bạn tự tin hơn khi luyện tập và giải bài tập liên quan đến phương trình mặt phẳng trong không gian ba chiều.
1. Phương pháp
Cho hai mặt phẳng \( (P) \), \( (Q) \) và một điểm có tọa độ \( M(x_0, y_0, z_0) \). Nếu muốn viết phương trình đi qua M và vuông góc với \( (P) \), \( (Q) \) thì ta làm như sau
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \)
- Mặt phẳng \( (P) : A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là: $ \overrightarrow{n_P} = (A_1, B_1, C_1) $
- Mặt phẳng \( (Q) : A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là: $ \overrightarrow{n_Q} = (A_2, B_2, C_2) $
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \)
Vì mặt phẳng \( \alpha \) vuông góc với cả hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \), nên một vectơ pháp tuyến của \( \alpha \) là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_P} \) và \( \overrightarrow{n_Q} \):
$ \overrightarrow{n_\alpha} = \left[ \overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{n_Q} \right] $
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng \( \alpha \)
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \( \alpha \) có dạng: $ a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0 $ trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của \( \overrightarrow{n_\alpha} \) và \( M(x_0, y_0, z_0) \) là điểm đi qua.
- Thay giá trị của \( x_0, y_0, z_0 \) và \( (a, b, c) \) để tìm phương trình mặt phẳng.
Bước 4: Rút gọn phương trình (nếu cần)
Đưa phương trình về dạng đơn giản nhất bằng cách chia các hệ số cho ước chung (nếu có).
Ghi chú quan trọng:
- Nếu đề bài yêu cầu mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \), ta thay \( M(0,0,0) \) vào phương trình.
- Nếu tích có hướng cho ra vectơ pháp tuyến có hệ số lớn, có thể chia để đơn giản hóa phương trình.
- Nếu mặt phẳng cần tìm phải cắt một trục tọa độ tại một điểm nhất định, sử dụng điều kiện đó để xác định hệ số tự do.
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Trong không gian \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng \( (P) \) đi qua điểm \( M(-1;-2;5) \) và vuông góc với hai mặt phẳng \( (Q) : x + 2y – 3z + 1 = 0 \) và \( (R) : 2x – 3y + z + 1 = 0 \).
Lời giải
VTPT của \( (Q) \) là \( \overrightarrow{n_Q}(1;2;-3) \), VTPT của \( (R) \) là \( \overrightarrow{n_R}(2;-3;1) \).
Ta có $ \left[ \overrightarrow{n_Q}, \overrightarrow{n_R} \right] = (-7;-7;-7) $ nên mặt phẳng \( (P) \) nhận \( \overrightarrow{n}(1;1;1) \) là một VTPT và \( (P) \) đi qua điểm \( M(-1;-2;5) \) nên có phương trình là: $ x + y + z – 2 = 0. $
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \) cho hai mặt phẳng \( (\alpha) : 3x – 2y + 2z + 7 = 0 \) và
\( (\beta) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0 \). Phương trình mặt phẳng đi qua \( O \) đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) có phương trình là
Lời giải
Gọi mặt phẳng phải tìm là \( (P) \). Khi đó vectơ pháp tuyến của \( (P) \) là:
$\overrightarrow{n_p} = \left[ \overrightarrow{n_\alpha}, \overrightarrow{n_\beta} \right] = (2; 1; -2)$
Phương trình của \( (P) \) là \( 2x + y – 2z = 0 \).
Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng \( (\alpha) : 3x – 2y + 2z + 7 = 0 \), \( (\beta) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0 \). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \) đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) là:
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \( \overrightarrow{n_\alpha} = (3;-2;2) \), \( \overrightarrow{n_\beta} = (5;-4;3) \).
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{n_\alpha}, \overrightarrow{n_\beta} \right] = (2;1;-2)$
Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \), VTPT \( \overrightarrow{n} = (2;1;-2) \): \( 2x + y – 2z = 0 \).
Bài tập 4. Trong không gian \( Oxyz \), cho hai mặt phẳng \( (\alpha) : 3x – 2y + 2z + 7 = 0 \) và \( (\beta) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0 \). Phương trình mặt phẳng qua \( O \), đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) có phương trình là
Lời giải
Mặt phẳng \( (\alpha) \) có một vectơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_1} = (3;-2;2) \).
Mặt phẳng \( (\beta) \) có một vectơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_2} = (5;-4;3) \).
Giả sử mặt phẳng \( (\gamma) \) có vectơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n} \).
Do mặt phẳng \( (\gamma) \) vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) nên ta có:
$ \begin{cases} \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{n_1} \\ \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{n_2} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right] = (2;1;-2). $
Mặt phẳng \( (\gamma) \) đi qua \( O(0;0;0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2;1;-2) \) có phương trình là: $ 2x + y – 2z = 0. $
Bài tập 5. Trong không gian \( Oxyz \), cho hai mặt phẳng \( (P) : x – 3y + 2z – 1 = 0 \), \( (Q) : x – z + 2 = 0 \). Mặt phẳng \( (\alpha) \) vuông góc với cả \( (P) \) và \( (Q) \) đồng thời cắt trục \( Ox \) tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp \( (\alpha) \) là
Lời giải
\( (P) \) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_p} = (1;-3;2) \), \( (Q) \) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_q} = (1;0;-1) \).
Vì mặt phẳng \( (\alpha) \) vuông góc với cả \( (P) \) và \( (Q) \) nên \( (\alpha) \) có một vectơ pháp tuyến là
$\left[ \overrightarrow{n_p}, \overrightarrow{n_q} \right] = (3;3;3) = 3(1;1;1)$
Vì mặt phẳng \( (\alpha) \) cắt trục \( Ox \) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \( (\alpha) \) đi qua điểm \( M (3;0;0) \).
Vậy \( (\alpha) \) đi qua điểm \( M (3;0;0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_\alpha} = (1;1;1) \) nên \( (\alpha) \) có phương trình: $x + y + z – 3 = 0.$