Việc nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng song song và xác định khoảng cách sẽ giúp bạn dễ dàng xử lý các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết nền tảng, phương pháp giải, đồng thời luyện tập với các bài tập có lời giải chi tiết từ dễ đến khó. Hãy cùng khám phá và chinh phục dạng toán này ngay bây giờ!
1. Phương pháp giải
Khi gặp dạng toán viết phương trình khi biết các điều kiện cho trước này thì ta làm theo 4 bước như sau:
Bước 1: Giả sử phương trình mặt phẳng \( (\alpha) \)
Do \( (\alpha) \) song song với \( (\beta) \), nên phương trình \( (\alpha) \) có dạng: $ Ax + By + Cz + D = 0 $
Trong đó, \( A, B, C \) là các hệ số của mặt phẳng \( (\beta) \) (giữ nguyên), chỉ có hằng số \( D \) cần tìm.
Bước 2: Chọn một điểm thuộc mặt phẳng \( (\beta) \)
Lấy một điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \in (\beta) \) bằng cách gán hai biến tự do rồi tìm biến còn lại.
Bước 3: Thiết lập phương trình khoảng cách giữa hai mặt phẳng
- Khoảng cách từ \( M \) đến mặt phẳng \( (\alpha) \) bằng khoảng cách cho trước \( k \), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $ d(M, (\alpha)) = \frac{| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D |}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = k $
- Giải phương trình trên để tìm \( D \).
Bước 4: Kết luận phương trình mặt phẳng \( (\alpha) \)
Thế các giá trị \( D \) tìm được vào phương trình tổng quát \( Ax + By + Cz + D = 0 \) để viết ra phương trình các mặt phẳng \( (\alpha) \).
Nhận xét:
- Dạng toán này luôn có hai mặt phẳng thỏa mãn vì mặt phẳng \( (\alpha) \) có thể nằm cả hai phía của mặt phẳng \( (\beta) \).
- Nếu khoảng cách bằng 0, tức là hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó \( D = D’ \).
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Trong không gian hệ tọa độ \( Oxyz \), lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng
\( (\beta) : x + y – z + 3 = 0 \) và cách \( (\beta) \) một khoảng bằng \( \sqrt{3} \).
Lời giải
Gọi mặt phẳng \( (\alpha) \) cần tìm.
Vì \( (\alpha) // (\beta) \) nên phương trình \( (\alpha) \) có dạng : \( x + y – z + c = 0 \) với \( c \in \mathbb{R} \setminus \{3\} \).
Lấy điểm \( I (-1; -1;1) \in (\beta) \).
Vì khoảng cách từ \( (\alpha) \) đến \( (\beta) \) bằng \( \sqrt{3} \) nên ta có :
$ d \big( I, (\alpha) \big) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{| -1 – 1 -1 + c |}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{| c – 3 |}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 0 \\ c = 6 \end{array} \right. ( \text{thỏa điều kiện } c \in \mathbb{R} \setminus \{3\} ). $
Vậy phương trình \( (\alpha) \) là: \( x + y – z + 6 = 0 \); \( x + y – z = 0 \).
Bài tập 2. Trong không gian \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (P) : x + 2y + 2z – 10 = 0 \). Phương trình mặt phẳng \( (Q) \) với \( (Q) \) song song với \( (P) \) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) bằng \( \dfrac{7}{3} \) là.
Lời giải
Vì \( (Q) \) song song với \( (P) \) nên phương trình mặt phẳng \( (Q) \) có dạng
\((Q) : x + 2y + 2z + c = 0 \)
Lấy \( M \in (P) \Rightarrow M (0;0;5) \Rightarrow d \big( M, (Q) \big) = \dfrac{7}{3} \). Khi đó ta có
$ d \big( M, (Q) \big) = \dfrac{| 2.5 + c |}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 10 + c = 7 \\ 10 + c = -7 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} c = -3 \\ c = -17 \end{array} \right. $
Vậy ta có các mặt phẳng \( (Q) \) là
\((Q) : x + 2y + 2z – 3 = 0\); \( (Q) : x + 2y + 2z – 17 = 0 \)
Bài tập 3. Trong không gian \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng \( (P) \) song song với mặt phẳng
\( (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 \) và cách \( (Q) \) một khoảng bằng 3.
Lời giải
Trên mặt phẳng \( (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 \) chọn điểm \( M(-1;0;0) \).
Do \( (P) \) song song với mặt phẳng \( (Q) \) nên phương trình của mặt phẳng \( (P) \) có dạng: \( x + 2y – 2z + D = 0 \) với \( D \neq 1 \).
Vì \( d((P),(Q)) = 3 \Leftrightarrow d(M,(P)) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{| -1 + D |}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 3 \Leftrightarrow | -1 + D | = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} D = -8 \\ D = 10 \end{array} \right. \)
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: \( x + 2y – 2z – 8 = 0 \) và \( x + 2y – 2z + 10 = 0 \).
Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng \( (P) \) song song và cách mặt phẳng \( (\alpha) : 3x – y + 2z – 3 = 0 \) một khoảng bằng \( \sqrt{14} \).
Lời giải
Vì \( (P) // (\alpha) \) nên phương trình mặt phẳng \( (P) \) có dạng: \( 3x – y + 2z + D = 0 \), \( (D \neq -3) \).
Lấy \( M (x; y; z) \in (P) \). Khi đó \( d (M,(\alpha)) = \dfrac{|3x – y + 2z – 3|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \Leftrightarrow |3x – y + 2z – 3| = 14 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x – y + 2z – 3 = 14 \\ 3x – y + 2z – 3 = -14 \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x – y + 2z – 17 = 0 \\ 3x – y + 2z + 11 = 0 \end{array} \right. \)
Vậy có hai phương trình của \( (P) \): \( 3x – y + 2z – 17 = 0 \); \( 3x – y + 2z + 11 = 0 \).