Trong không gian, một mặt phẳng được xác định khi biết hai điểm thuộc nó và điều kiện vuông góc với một mặt phẳng khác. Đây là dạng toán quan trọng, giúp hiểu rõ hơn về quan hệ vuông góc trong hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp xác định phương trình mặt phẳng \( \alpha \) qua hai điểm \( A, B \) và vuông góc với mặt phẳng \( \beta \), kèm theo bài tập minh họa từ cơ bản đến nâng cao.
1. Cách viết phương trình mặt phẳng α qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng β
Dạng toán “Viết phương trình mặt phẳng \( \alpha \) qua hai điểm \( A, B \) và vuông góc với mặt phẳng \( \beta \)” có thể được giải theo các bước tổng quát sau:
Bước 1: Xác định véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \)
- Tính véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) từ hai điểm đã cho: $ \overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A). $
- Đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua \( A, B \).
Bước 2: Xác định véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \beta \)
- Mặt phẳng \( \beta \) có phương trình dạng tổng quát: $ ax + by + cz + d = 0. $
- Khi đó, véc-tơ pháp tuyến của \( \beta \) là: $ \overrightarrow{n_\beta} = (a, b, c). $
Bước 3: Xác định véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \)
- Vì mặt phẳng \( \alpha \) chứa đường thẳng \( AB \) và vuông góc với \( \beta \), nên một véc-tơ pháp tuyến của \( \alpha \) chính là tích có hướng của hai véc-tơ: $ \overrightarrow{n_\alpha} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n_\beta}]. $
- Kết quả sẽ là một véc-tơ pháp tuyến \( (A_1, B_1, C_1) \).
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng \( \alpha \)
- Mặt phẳng \( \alpha \) đi qua điểm \( A(x_A, y_A, z_A) \) có phương trình: $ A_1(x – x_A) + B_1(y – y_A) + C_1(z – z_A) = 0. $
- Rút gọn để có phương trình mặt phẳng dưới dạng tổng quát.
Kết luận: Phương trình mặt phẳng \( \alpha \) đi qua \( A, B \) và vuông góc với \( \beta \) có dạng: $[A B, n_\beta] \cdot (x – x_A, y – y_A, z – z_A) = 0.$
Phương pháp này áp dụng được cho mọi bài toán tương tự!
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Trong không gian hệ tọa độ \( Oxyz \), cho \( A(2;1;-1); B(1;0;1) \) và mặt phẳng \( (P) : x + 2y – z + 1 = 0 \). Viết phương trình mặt phẳng \( (Q) \) qua \( A; B \) và vuông góc với \( (P) \).
Lời giải
Ta có : \( \overrightarrow{AB} = (-1;-1;2) \).
Mặt phẳng \( (P) \) nhận VTPT là \( \overrightarrow{n} (1;2;-1) \). Khi đó mặt phẳng \( (Q) \) nhận VTPT là
$\overrightarrow{n_1} = [\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{n}] = (-3;1;-1).$
Mặt phẳng \( (Q) \) qua \( A; B \) và vuông góc với \( (P) \) thì nhận \( \overrightarrow{n_1} = (-3;1;-1) \) làm VTPT và đi qua \( A(2;1;-1) \). Phương trình mặt phẳng \( (Q) \) là:
$-3(x-2) + y -1 – (z+1) = 0.$
Vậy phương trình mặt phẳng \( (Q) \) là \( 3x – y + z – 4 = 0 \).
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), cho hai điểm \( A(2;4;1) \), \( B(-1;1;3) \) và mặt phẳng \( (P) : x – 3y + 2z – 5 = 0 \). Viết phương trình mặt phẳng \( (Q) \) đi qua hai điểm \( A, B \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P) \).
Lời giải
Ta có: \( \overrightarrow{AB} = (-3;-3;2) \) và \( \overrightarrow{n_P} = (1;-3;2) \)
\(\Rightarrow [\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{n_P}] = (0;8;12) \) cùng phương \( \overrightarrow{u} = (0;2;3) \).
Khi đó, mặt phẳng \( (Q) \) qua \( A(2;4;1) \) và có VTPT là \( \overrightarrow{u} = (0;2;3) \).
\(\Rightarrow (Q) : 2y + 3z – 11 = 0\).
Bài tập 3. Trong không gian \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm \( A(1;2;-2), B(2;-1;4) \) và vuông góc với \( (\beta): x – 2y – z + 1 = 0 \).
Lời giải
Có \( \overrightarrow{AB} = (1;-3;6) \)
Mặt phẳng β có VTPT là \( \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;-2;-1) \).
Mặt phẳng α chứa \( A, B \) và vuông góc với β nên α có một vectơ pháp tuyến là:
$\overrightarrow{n_{\alpha}} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n_{\beta}}] = (15;7;1).$
Phương trình mặt phẳng α là: \( 15x + 7z + 1 – 27 = 0 \).