Một trong những bài toán thường gặp là xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Đây không chỉ là một kỹ năng quan trọng trong học tập mà còn là nền tảng cho các ứng dụng. Vậy làm thế nào để tìm được phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm? Phương pháp nào giúp ta giải quyết bài toán này nhanh chóng và chính xác? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết từ lý thuyết đến các bài tập vận dụng, giúp bạn nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng một cách dễ dàng.
1. Cách viết phương trình mặt phẳng α đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
Nếu như cho 3 điểm không thẳng hàng mà muốn viết phương trình mặt phẳng thì bạn cần tiến hành qua 4 bước sau:
- Bước 1. Tìm tọa độ các vecto: \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \).
- Bước 2. Vecto pháp tuyến của \( (\alpha) \) là : \( \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] \).
- Bước 3. Điểm thuộc mặt phẳng: \( A \) (hoặc \( B \) hoặc \( C \)).
- Bước 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT \( \overrightarrow{n} \): \[ A(x – x_A) + B(y – y_A) + C(z – z_A) = 0 \]
2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(1;0;-2) \), \( B(1;1;1) \), \( C(0;-1;2) \).
$\textbf{Lời giải:}$
Ta có: \( \overrightarrow{AB} = (0;1;3), \overrightarrow{AC} = (-1;-1;4) \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] = (7;-3;1) \).
Gọi \( \overrightarrow{n} \) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \) ta có
$ \begin{cases} \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases} $
nên \( \overrightarrow{n} \) cùng phương với \( \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] \).
Chọn \( \overrightarrow{n} = (7;-3;1) \) ta được phương trình mặt phẳng \( (ABC) \) là:
$7(x-1) -3(y-0) + 1(z+2) = 0 $
$\Leftrightarrow 7x – 3y + z – 5 = 0.$
Bài tập 2. Trong không gian \( Oxyz \), cho ba điểm \( A(1;0;0) \), \( B(0;-1;-1) \), \( C(5;-1;1) \). Viết phương trình mặt phẳng \( (ABC) \).
$\textbf{Lời giải}$
$\overrightarrow{AB} = (-1;-1;-1), \quad \overrightarrow{AC} = (4;-1;1), \quad \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] = (-2;-3;5).$
Phương trình mặt phẳng \( (ABC) \) là:
$2x + 3y – 5z – 2 = 0.$
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(1;1;4) \), \( B(2;7;9) \), \( C(0;9;13) \).
$\textbf{Lời giải}$
Ta có \( \overrightarrow{AB} = (1;6;5) \), \( \overrightarrow{AC} = (-1;8;9) \).
\( (ABC) \) đi qua \( A(1;1;4) \) có vtpt \( \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] = (14;-14;14) = 14(1;-1;1) \) có dạng
$x – y + z – 4 = 0.$
Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(2;3;5) \), \( B(3;2;4) \) và \( C(4;1;2) \).
$\textbf{Lời giải}$
Vì \( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \subset (ABC) \) nên \( (ABC) \) sẽ nhận \( \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] \) làm một vecto pháp tuyến.
Ta có \( \overrightarrow{AB} = (1;-1;-1) \), \( \overrightarrow{AC} = (2;-2;-3) \) suy ra \( \overrightarrow{n} = \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] = (1;1;0) \).
Hiển nhiên \( (ABC) \) đi qua \( A(2;3;5) \) nên ta có phương trình của \( (ABC) \) là
$1(x-2) +1(y-3) +0(z-5) = 0 \Leftrightarrow x + y -5 = 0.$