Trong thế giới rộng lớn của hình học không gian, việc viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm luôn là một kỹ năng quan trọng mà bất kỳ ai yêu thích toán học cũng muốn làm chủ. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào để xác định chính xác một mặt phẳng chỉ với một điểm cho trước, kết hợp cùng các điều kiện như song song với một mặt phẳng khác chưa? Với bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá lý thuyết cơ bản, luyện tập qua các bài tập từ dễ đến khó, và cung cấp lời giải chi tiết để bạn học tập hiệu quả. Hãy sẵn sàng bước vào hành trình giải bài tập viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và nâng cao kỹ năng của mình ngay từ hôm nay!
1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm M
Để giải dạng toán viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với một mặt phẳng cho trước ta làm theo 4 bước sau
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cho trước
- Mặt phẳng ban đầu (ví dụ: \((Q): Ax + By + Cz + D = 0\)) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (A, B, C)\).
- Vì mặt phẳng cần tìm \((P)\) song song với \((Q)\), nên \((P)\) cũng có cùng vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (A, B, C)\).
Bước 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cần tìm
Phương trình tổng quát của một mặt phẳng có vectơ pháp tuyến \((A, B, C)\) là: \(Ax + By + Cz + D’ = 0\), trong đó \(D’\) là hằng số cần xác định (và \(D’ \neq D\) để đảm bảo hai mặt phẳng không trùng nhau).
Bước 3: Thay tọa độ điểm cho trước vào phương trình
- Biết mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\), thay tọa độ của \(M\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D’ = 0\): \(A x_0 + B y_0 + C z_0 + D’ = 0\).
- Từ đây, ta giải phương trình để tìm giá trị của \(D’\): \(D’ = – (A x_0 + B y_0 + C z_0)\).
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng cuối cùng
- Thay giá trị \(D’\) đã tìm được vào phương trình \(Ax + By + Cz + D’ = 0\) để được phương trình cụ thể của mặt phẳng \((P)\).
- Kiểm tra lại điều kiện \(D’ \neq D\) (nếu có yêu cầu cụ thể trong đề bài) để đảm bảo \((P)\) không trùng với \((Q)\).
Ghi chú: Nếu đề bài ghi phương trình mặt phẳng dưới dạng khác (ví dụ: \(3x – y + 2z + m = 0\)), ta chỉ cần thay \(D’\) bằng \(m\) và làm tương tự.
Tóm tắt
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
- B1. VTPT của (β) là \(\overrightarrow{n_\beta} = (A; B; C)\).
- B2. (α) // (β) nên VTPT của mặt phẳng (α) là \(\overrightarrow{n_\alpha} = \overrightarrow{n_\beta} = (A; B; C)\).
- B3. Phương trình mặt phẳng (α): \( A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0 \).
Cách 2:
- B1. Mặt phẳng (α) // (β) nên phương trình (P) có dạng: \( Ax + By + Cz + D’ = 0 () \), với \( D’ \neq D \).
- B2. Vì (P) qua 1 điểm \( M_0 (x_0; y_0; z_0) \), nên thay tọa độ \( M_0 (x_0; y_0; z_0) \) vào () tìm được \( D’ \).
2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(-2;3;1)\) và song song với mặt phẳng \((Q): x + 3y – 2z + 2 = 0\).
Lời giải
Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q): x + 3y – 2z + 2 = 0\) nên mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng:
\((Q): x + 3y – 2z + D = 0 \ (D \neq 2)\).
Mặt phẳng \((P)\) di qua điểm \(M(-2;3;1)\), nên thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn.
Ta được: \(-2 + 3.3 – 2.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = -5\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\): \((Q): x + 3y – 2z – 5 = 0\).
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng đi diem \(M(3;-1;-2)\) và song song với mặt phẳng \((P):3x – y + 2z + 4 = 0\).
Lời giải
Vì \((Q) // (P)\) nên \((Q):3x – y + 2z + m = 0 \ (m \neq 4)\).
Mà \(M(3;-1;-2) \in (P) \Rightarrow m = -6\) (thỏa mãn).
Vậy \((Q):3x – y + 2z – 6 = 0\).
Bài tập 3. Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(0;1;3)\) và song song với mặt phẳng \((Q): 2x – 3z + 1 = 0\).
Lời giải
Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q): 2x – 3z + 1 = 0\) nên mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng: \(2x – 3z + D = 0 \ (D \neq 1)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(0;1;3)\), nên thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: \(2.0 – 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9\) (thỏa mãn \(D \neq 1\)).
Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\): \(2x – 3z + 9 = 0\).