Trong hình học không gian, bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng toán quan trọng, thường gặp trong các đề thi và bài kiểm tra. Dạng toán này yêu cầu học sinh vận dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm có tọa độ \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến một mặt phẳng có phương trình tổng quát \( Ax + By + Cz + D = 0 \).
1. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng và tọa độ điểm
- Cho mặt phẳng \( (P): ax + by + cz + d = 0 \).
- Cho điểm \( M(x_0; y_0; z_0) \).
Bước 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách
Khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0; z_0) \) đến mặt phẳng \( (P): ax + by + cz + d = 0 \) được tính theo công thức:
$d(M, (P)) = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$
Bước 3: Thay tọa độ điểm và các hệ số của mặt phẳng vào công thức
Thay các giá trị:
- \( a, b, c, d \): Hệ số trong phương trình mặt phẳng.
- \( x_0, y_0, z_0 \): Tọa độ của điểm \( M \).
- Tính giá trị tuyệt đối của tử số \( |a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 + d| \).
- Tính mẫu số \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).
Bước 4: Thực hiện phép tính
- Tính giá trị phân số theo công thức trên.
- Đơn giản hóa (nếu cần) để tìm kết quả cuối cùng.
Lưu ý
- Giá trị khoảng cách luôn không âm (bởi tử số là giá trị tuyệt đối và mẫu số là căn bậc hai của các số không âm).
- Phải đảm bảo viết đúng phương trình mặt phẳng và tọa độ điểm để tránh nhầm lẫn.
- Bài tập vận dụng
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Trong không gian \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (P): x – 2y – 2z + 5 = 0 \) và điểm \( A(-1; 3; -2) \). Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là
A. \( \frac{\sqrt{14}}{7} \).
B. \( \frac{3\sqrt{14}}{14} \).
C. \( \frac{2}{3} \).
D. \( 1 \).
Lời giải
Chọn C
Ta có khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là
$d(A, (P)) = \frac{|(-1) – 2.3 – 2.(-2) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{2}{3}.$
Bài tập 2. Trong không gian \( Oxyz \), tính khoảng cách từ \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 \).
A. \( \frac{11}{3} \).
B. \( 3 \).
C. \( \frac{7}{3} \).
D. \( \frac{4}{3} \).
Lời giải
$d(M; (P)) = \frac{|1+2.2+2.(-3)-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-11|}{3} = \frac{11}{3}.$
Bài tập 3. Trong không gian \( Oxyz \), cho điểm \( M(-1; 2; -3) \) và mặt phẳng \( (P): 2x – 2y + z + 5 = 0 \).
Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \) bằng
A. \( \frac{4}{3} \).
B. \( \frac{1}{3} \).
C. \( \frac{2}{3} \).
D. \( \frac{4}{9} \).
Lời giải
Chọn A
Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \):
\( d(M, (P)) = \frac{|2(-1) – 2.2 + 1.(-3) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{4}{3} \).
Bài tập 4. Trong không gian \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (P): 2x – y + 2z – 4 = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(3; 1; -2) \) đến mặt phẳng \( (P) \) bằng
A. \( 2 \).
B. \( \frac{1}{3} \).
C. \( 1 \).
D. \( 3 \).
Lời giải
Chọn C
Khoảng cách từ điểm \( M(3; 1; -2) \) đến mặt phẳng \( (P) \):
$d(M, (P)) = \frac{|2.3 – 1 + 2.(-2) – 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = 1.$
Bài tập 5. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (P) \) có phương trình: \( 3x + 4y + 2z + 4 = 0 \) và điểm \( A(1;-2;3) \). Tính khoảng cách \( d \) từ \( A \) đến \( (P) \).
A. \( d = \frac{5}{9} \).
B. \( d = \frac{5}{29} \).
C. \( d = \frac{5}{\sqrt{29}} \).
D. \( d = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
Lời giải
Khoảng cách \( d \) từ \( A \) đến \( (P) \) là \( d(A, (P)) \)
$d(A, (P)) = \frac{|3x_A + 4y_A + 2z_A + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}}$
$= \frac{|3 – 8 + 6 + 4|}{\sqrt{29}}$
$\Rightarrow d(A, (P)) = \frac{5}{\sqrt{29}}$
Bài tập 6. Trong không gian \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 \) và điểm \( M(1; -2; 1) \). Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (Q) \) bằng
A. \( \frac{4}{3} \).
B. \( \frac{1}{3} \).
C. \( \frac{2}{3} \).
D. \( \frac{2\sqrt{6}}{3} \).
Lời giải
Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (Q) \) bằng \( d(M, (Q)) = \frac{|1 + 2(-2) – 2.1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{3} \).
Bài tập 7. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), cho mặt phẳng \( (P): 2x – 2y + z + 4 = 0 \). Tính khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(1;2;1) \) đến mặt phẳng \( (P) \).
A. \( d = 3 \).
B. \( d = 4 \).
C. \( d = 1 \).
D. \( d = \frac{1}{3} \).
Lời giải
Khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(1;2;1) \) đến mp \( (P) \) là \( d = d(M, (P)) \)
$d(M, (P)) = \frac{|2.1 – 2.2 + 1 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = 1.$