Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Hình cầu là một hình học quan trọng trong toán học, đặc biệt trong hình học không gian. Các bài tập liên quan đến hình cầu thường tập trung vào các tính chất cơ bản như bán kính, đường kính, diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu, khoảng cách giữa hai mặt cầu, và các bài toán liên quan đến tiếp xúc giữa các hình không gian.

Ở bài công thức Toán hình lớp 9, HinhHoc đã giới thiếu sơ lược về các công thức thường gặp ở mặt cầu. Dưới đây là các dạng bài tập phổ biến về hình cầu cùng với công thức áp dụng:

1. Tính diện tích mặt cầu

Công thức: $ S = 4\pi r^2 $

Trong đó:

• \( S \): Diện tích mặt cầu.
• \( r \): Bán kính của hình cầu.

Ví dụ: Một quả bóng có bán kính \( r = 7 \) cm. Tính diện tích mặt cầu của quả bóng.

Lời giải

Áp dụng công thức: $ S = 4\pi r^2 = 4\pi (7)^2 = 196\pi \ \text{(cm}^2\text{)}. $

2. Tính thể tích hình cầu

– Công thức: $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $

Trong đó:

• \( V \): Thể tích hình cầu.
• \( r \): Bán kính của hình cầu.

Ví dụ: Một quả bóng có bán kính \( r = 10 \) cm. Tính thể tích của quả bóng.

Lời giải

Áp dụng công thức: $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4000}{3}\pi \ \text{(cm}^3\text{)}. $

3. Tính bán kính hoặc đường kính khi biết diện tích hoặc thể tích

• Dùng công thức ngược từ diện tích hoặc thể tích để tính bán kính:
• Từ diện tích \( S = 4\pi r^2 \): $ r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} $
• Từ thể tích \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \): $ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} $

Ví dụ: Một mặt cầu có diện tích \( S = 314\ \text{cm}^2 \). Tính bán kính của mặt cầu.

Lời giải

Áp dụng công thức: $ r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \sqrt{\frac{314}{4\pi}} \approx 5 \ \text{cm}. $

4. Bài toán liên quan đến hình cầu nội tiếp hoặc ngoại tiếp

Hình cầu nội tiếp

• Hình cầu nội tiếp khối lập phương:
• Bán kính \( r = \frac{a}{2} \), với \( a \) là cạnh của khối lập phương.
• Thể tích hình cầu nội tiếp: $ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{\pi a^3}{6}. $

Hình cầu ngoại tiếp

• Hình cầu ngoại tiếp khối lập phương:
• Bán kính \( r = \frac{\sqrt{3}a}{2} \), với \( a \) là cạnh của khối lập phương.
• Thể tích hình cầu ngoại tiếp: $ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^3. $

Ví dụ: Một khối lập phương có cạnh \( a = 6 \) cm. Tính thể tích của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp khối lập phương.

Lời giải

Hình cầu nội tiếp:

Bán kính: $ r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \ \text{cm}. $

Thể tích: $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi \ \text{(cm}^3\text{)}. $

Hình cầu ngoại tiếp:

Bán kính: $ r = \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 6}{2} = 3\sqrt{3} \ \text{cm}. $

Thể tích: $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (3\sqrt{3})^3 = 108\sqrt{3}\pi \ \text{(cm}^3\text{)}. $

5. Bài toán liên quan đến giao điểm hoặc tiếp xúc

Hai mặt cầu tiếp xúc nhau

• Nếu hai mặt cầu có bán kính \( r_1 \) và \( r_2 \), tâm \( O_1 \) và \( O_2 \), thì:
• Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài khi: $ O_1O_2 = r_1 + r_2. $
• Hai mặt cầu tiếp xúc trong khi: $ O_1O_2 = |r_1 – r_2|. $

Giao tuyến của hai mặt cầu

Nếu hai mặt cầu giao nhau, khoảng cách giữa hai tâm \( O_1 \) và \( O_2 \) phải thỏa mãn: $ |r_1 – r_2| \leq O_1O_2 \leq r_1 + r_2. $

Ví dụ: Hai mặt cầu có bán kính \( r_1 = 5 \) cm, \( r_2 = 3 \) cm, và khoảng cách giữa hai tâm là \( O_1O_2 = 8 \) cm. Kiểm tra xem hai mặt cầu có tiếp xúc hay không.

Lời giải

Ta có: $ r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8, \quad |r_1 – r_2| = |5 – 3| = 2. $

Vì \( O_1O_2 = 8 \), nên hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.

6. Bài toán thực tế

Tính thể tích chất lỏng trong bể chứa hình cầu

– Một bể chứa hình cầu có bán kính \( r \), nếu mực chất lỏng trong bể cao \( h \), thể tích chất lỏng là:

$V = \pi h^2 \left(r – \frac{h}{3}\right).$

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt cầu

– Cho hình cầu có tâm \( O \) và bán kính \( r \). Khoảng cách từ điểm \( P \) đến mặt cầu là: $d = |OP – r|.$

7. Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Hằng năm cứ dịp Tết đến Xuân về, dân làng Thúy Lĩnh, phường Lĩnh Nam, quận Hoàng Mai, Hà Nội lại tổ chức lễ hội vật cầu truyền thống. Trong lễ hội có sử dụng một quả cầu được tiện bằng gỗ, đường kính khoảng 35cm, sơn đỏ mặt ngoài. Tính diện tích mặt ngoài của quả cầu gỗ nói trên

Lời giải

Bán kính mặt cầu là: \(\frac{{35}}{2} = 17,5\left( {cm} \right)\).

Diện tích mặt ngoài của quả cầu gỗ là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .17,{5^2} = 1225\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Bài tập 2. Một quả bóng đá có chu vi của đường tròn lớn bằng 68,5cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích bằng \(49,83c{m^2}\). Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? (Coi phần mép khâu không đáng kể).

Lời giải

Bán kính đường tròn lớn chính là bán kính quả bóng.

Bán kính quả bóng là: \(R = 68,5:\pi :2 = \frac{{137}}{{4\pi }}\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt quả bóng là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{137}}{{4\pi }}} \right)^2} = \frac{{18\;769}}{{4\pi }}\left( {c{m^2}} \right)\)

Số miếng da cần dùng là: \(\frac{{18\;769}}{{4\pi }}:49,83 \approx 29,97\) (miếng)

Vậy cần ít nhất 30 miếng da để làm quả bóng trên.

Bài tập 3. Cắt một hình cầu có bán kính 5 cm bằng một mặt phẳng đi qua tâm ta sẽ được hai nửa hình cầu. Nam cầu sơn tất cả các mặt của một nửa hình cầu này (Hình 18). Hỏi diện tích Nam cần sơn là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Diện tích nửa mặt cầu là:

\(2\pi {R^2} = 2\pi {.5^2} = 50\pi\)(cm²).

Diện tích mặt cắt đi qua tâm là:

\(\pi {R^2} = \pi {.5^2} = 25\pi\)(cm²).

Diện tích Nam cần sơn là:

S = \(50\pi + 25\pi = 75\pi \approx 236 \)(cm²).